Este nativo de Croydon aproveitou a boa fortuna familiar, isto é o pai ter dinheiro suficiente para possuir um automóvel desportivo, para se iniciar nos ralis nesse paternal Turner 950 e, como devia ser um bom rapazinho nos seus estudos em Oxford, pouco depois o pai oferece-lhe um AC Ace em segunda mão aos 21 anos, com o qual se estreia nas corridas de circuito em Goodwood, corria o ano de 1958.
Passa para os fórmulas, mais propriamente para a Formula Junior, no início de 1960 ao volante de um Cooper T52/BMC inscrito por ele próprio sob o nome da empresa do pai (Coburn Engineers) e ao qual fazia ele próprio a assistência, sendo que no ano seguinte até viria a abrir uma oficina! Este primeiro ano corre de forma positiva, sem grandes fogachos mas sem nunca comprometer, conseguindo ainda duas vitórias em corridas de menor importância.
Em 1961 passa para um Emeryson Mk2. Os carros desenhados por Paul Emery sempre resultaram mais na teoria do que na prática com Spence a sentir mais dificuldades em extrair o que havia de competitivo naquela máquina mas ainda assim a conseguir uma vitória no Commander Yorke Trophy em Silverstone. A ligação ao inventivo construtor leva-o também a estrear-se na F1, mas numa corrida extra-campeonato, disputada no traçado alemão de Solitude, vindo ainda a fazer o Lewis-Evans Trophy em Brands Hatch.